Question

13．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，又?jǐn)?shù)列{$\frac{2}{n{a}_{n}}$}（n∈N^*）是公差為1的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，又?jǐn)?shù)列{$\frac{2}{n{a}_{n}}$}（n∈N^*）是公差為1的等差數(shù)列．可得$\frac{2}{n{a}_{n}}$=2+（n-1），即可得出a_n．
（2）由a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，又?jǐn)?shù)列{$\frac{2}{n{a}_{n}}$}（n∈N^*）是公差為1的等差數(shù)列．
∴$\frac{2}{n{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．
（2）∵a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．