Question

18．已知由正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列{a_n}，{b_n}，如果a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的兩根．
（1）求證：{b_n}為等差數(shù)列；
（2）己知a₁=2，a₂=6，分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意知a_n+a_n+1=2b_n²，a_na_n+1=a_nb_nb_n+1，從而化簡(jiǎn)可得b_n-1+b_n+1=2b_n，從而證明；
（2）由題意可得b₁=2，b₂=3，從而求得b_n=n+1，a_n=b_n-1b_n=n（n+1）；
（3）化簡(jiǎn)$\frac{1}{{a}_{n}}$+b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+n+1，從而利用裂項(xiàng)求和法及拆項(xiàng)求和法求和．

解答 解：（1）證明：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的兩根，
∴a_n+a_n+1=2b_n²，a_na_n+1=a_nb_nb_n+1，
即a_n+a_n+1=2b_n²，a_n+1=b_nb_n+1，
故b_n-1b_n+b_nb_n+1=2b_n²，
故b_n-1+b_n+1=2b_n，
故{b_n}為等差數(shù)列；
（2）∵a₁=2，a₂=6，
∴b₁=2，b₂=3，
∴b_n=n+1，
∴a_n=b_n-1b_n=n（n+1）；
（3）$\frac{1}{{a}_{n}}$+b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+n+1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+n+1，
故S_n=（1-$\frac{1}{2}$+2）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+3）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+4）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+n+1）
=（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+（2+3+4+…+n+1）
=（1-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{2+n+1}{2}$n
=$\frac{n}{n+1}$+$\frac{n（n+3）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和法與拆項(xiàng)求和法的應(yīng)用．