Question

5．已知正四棱錐P-ABCD的所有頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，當(dāng)正四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，該正四棱錐的高為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，用a表示四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高，得出三棱柱的體積關(guān)于a的函數(shù)V（a），求出V的極大值點(diǎn)，計(jì)算棱柱的高

解答 解：設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，則底面中心O到A的距離為OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，球半徑為1，所以球心到四棱錐底面距離為$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$，所以三棱錐的高為h=1±$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$．
所以①四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABCD•h=$\frac{1}{3}{a}^{2}×（1-\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}）$．
或者$\frac{1}{3}{a}^{2}×（1+\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}）$，設(shè)$\frac{{a}^{2}}{2}$=sin²α，則a²=2sin²α，
所以上式為V=$\frac{2}{3}$（1-cos²α）（1-cosα）=$\frac{2}{3}$（cos³α-cos²α-cosα+1），設(shè)cosα=x，
V'=$\frac{2}{3}$（3x²-2x-1），令V'=0，解得x=1，故cosα=1此時(shí)不合題意，舍去；
②四棱錐的體積為$\frac{1}{3}{a}^{2}×（1+\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}）$，設(shè)$\frac{{a}^{2}}{2}$=sin²α，則a²=2sin²α，
V=$\frac{2}{3}$（1-cos²α）（1+cosα）=$\frac{2}{3}$（-cos³α-cos²α+cosα+1），設(shè)cosα=x，
V'=$\frac{2}{3}$（-3x²-2x+1），令V'=0，解得x=$\frac{1}{3}$；此時(shí)cosα=$\frac{1}{3}$，四棱錐的高為$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四棱錐與球的組合體中，關(guān)鍵是利用了導(dǎo)數(shù)求體積的最值．屬于中檔題．