Question

8．設(shè)a＞0，若${（{1+a\sqrt{x}}）^n}$的展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)等于含x項(xiàng)的系數(shù)的9倍，且展開式第3項(xiàng)等于135x，則a=3．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意，列出方程組，求出a的值．

解答 解：∵${（{1+a\sqrt{x}}）^n}$展開式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•a^r•${x}^{\frac{r}{2}}$，
∴展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)是${C}_{n}^{4}$•a⁴，
含x項(xiàng)的系數(shù)是${C}_{n}^{2}$•a²，
∴${C}_{n}^{4}$•a⁴=9${C}_{n}^{2}$•a²，
即（n-2）（n-3）a²=9×3×4；…①
又展開式第3項(xiàng)T₂₊₁=${C}_{n}^{2}$•a²•x=135x，
∴n（n-1）a²=270；…②
由①、②組成方程組，解得n=6，a=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了方程組思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．