Question

12．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足log₂a_n+2-log₂a_n=2，且a₃=8，若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n•b_n+1=a_n，則b₁₁+b₁₂=96．

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由log₂a_n+2-log₂a_n=2，可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2²=q²，解得q=2．由于a₃=8，可得a_n=${a}_{3}•{q}^{n-3}$．可得b₂=2．n≥2時(shí)，$\frac{_{n}_{n+1}}{_{n-1}_{n}}$=2，可得b_n+1=2b_n-1，因此數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2，即可得出．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
由log₂a_n+2-log₂a_n=2，∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2²=4=q²，解得q=2．
∵a₃=8，∴a_n=${a}_{3}•{q}^{n-3}$=8×2^n-3=2ⁿ．
∴b_n•b_n+1=a_n=2ⁿ．
∴b₂=2．
∴n≥2時(shí)，$\frac{_{n}_{n+1}}{_{n-1}_{n}}$=2，可得b_n+1=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2，
則b₁₁=1×2⁵=32，b₁₂=2×2⁵=64，則b₁₁+b₁₂=96．
故答案為：96．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．