Question

1．設α，β為銳角，且$\overrightarrow{a}$=（sinα，-cosα），$\overrightarrow$=（-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求cos（α+β）．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的坐標運算和向量的模的運算以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（sinα，-cosα），$\overrightarrow$=（-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴sinα-cosβ=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，sinβ-cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴（sinα-cosβ）²=$\frac{1}{6}$，（sinβ-cosα）²=$\frac{1}{2}$，
∴sin²α+cos²β-2sinαcosβ=$\frac{1}{6}$，sin²β+cos²α-2sinβcosα=$\frac{1}{2}$，
∴1+1-2（sinαcosβ+sinβcosα）=$\frac{2}{3}$，
∴sin（α+β）=$\frac{2}{3}$，
∵α，β為銳角，
∴$\frac{π}{4}$＜α，β＜$\frac{π}{2}$
∴$\frac{π}{2}$＜a+β＜π
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）^{\;}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算和兩角和的正弦公式，以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．