Question

20．已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若$\overrightarrow{PO}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）（其中P為平面上任意一點(diǎn)），則O點(diǎn)是△ABC的（　�。�

• A． 外心
• B． 內(nèi)心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}$帶入$\overrightarrow{PO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$化簡(jiǎn)即可得出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$，可取AB的中點(diǎn)D，然后連接OD，從而可得到$2\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OC}$，從而可得出點(diǎn)D，O，C三點(diǎn)共線，且O點(diǎn)在D，C點(diǎn)之間，|OC|=2|OD|，從而便得出O點(diǎn)為△ABC的重心．

解答 解：由$\overrightarrow{PO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$得，$\overrightarrow{PO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}）$=$\overrightarrow{PO}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
即$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$，取AB中點(diǎn)D，連接OD，如圖所示，則：
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OC}$；
∴D，O，C三點(diǎn)共線，且|OC|=2|OD|；
∴O點(diǎn)為△ABC的重心．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，以及向量數(shù)乘的幾何意義，三角形重心的概念及性質(zhì)．