Question

11．求函數y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$（x＞-1）的最值．

Answer 1

分析 化簡y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$=a$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$+1，再令f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2；從而由基本不等式可確定f（x）≥2；再討論a的正負以確定最值．

解答 解：∵y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$=a$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$+1，
∴令f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2；
∵x+1＞0，
∴（x+1）+$\frac{4}{x+1}$≥4，
（當且僅當x+1=$\frac{4}{x+1}$時，等號成立）；
故f（x）≥2；
故當a＞0時，y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$=a$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$+1有最小值2a+1；
當a＜0時，y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$=a$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$+1有最大值2a+1．

點評 本題考查了函數的化簡與基本不等式的應用，同時考查了分類討論的應用，屬于中檔題．