Question

12．關(guān)于x的方程2ax=x²-2alnx有唯一解，則正實數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 先討論x的取值范圍，從而利用分離常數(shù)法化簡a=$\frac{1}{2}$$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，求導(dǎo)a′=$\frac{1}{2}$$\frac{2x（x+lnx）-{x}^{2}（1+\frac{1}{x}）}{（x+lnx）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{{x}^{2}-x+2xlnx}{（x+lnx）^{2}}$，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而解得．

解答 解：∵2ax=x²-2alnx，
∴2a（x+lnx）=x²，
由y=x+lnx在其定義域上是增函數(shù)，且$\frac{1}{e}$-1＜0，1+0=1＞0；
故存在x₀∈（0，1），使x₀+lnx₀=0，
故當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，x+lnx＞0，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，
a=$\frac{1}{2}$$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，
a′=$\frac{1}{2}$$\frac{2x（x+lnx）-{x}^{2}（1+\frac{1}{x}）}{（x+lnx）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\frac{{x}^{2}-x+2xlnx}{（x+lnx）^{2}}$，
令f（x）=x²-x+2xlnx，
則f′（x）=2x-1+2+2lnx=2（x+lnx）+1＞0，
故f（x）在（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
又∵f（1）=0，
故當(dāng)x∈（x₀，1）時，a′＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，a′＞0；
故當(dāng)a=$\frac{1}{2}$•$\frac{{1}^{2}}{1+ln1}$=$\frac{1}{2}$時，
關(guān)于x的方程2ax=x²-2alnx有唯一解，
故選：A．

點評 本題考查了轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，同時考查了方程與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．