Question

9．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{1}{a}$x+$\frac{1}$y（a＞0，b＞0）的最大值為2，則a+b的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2}{9}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的最大值是2，確定a，b之間的關(guān)系，利用基本不等式求最小值．

解答 解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=$\frac{1}{a}$x+$\frac{1}$y（a＞0，b＞0），
得y=$-\frac{a}x++bz$，

平移此直線當(dāng)經(jīng)過A時(shí)直線的截距最大，此時(shí)z最大值2，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，
解得A（1，4），
代入目標(biāo)函數(shù)得$\frac{1}{a}+\frac{4}$=2，
即$\frac{1}{2a}+\frac{2}=1$，
則（a+b）（$\frac{1}{2a}+\frac{2}$）=$\frac{5}{2}+\frac{2a}+\frac{2a}$$≥\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；
故a+b的最小值為$\frac{9}{2}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及利用基本不等式求最值，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．