Question

1．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=2，PB與平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，若這個四棱錐各頂點都在一個球面上，則這個球的表面積為24π．

Answer 1

分析 判斷BO⊥面PAC，可得∠BPO為直線PB與平面PAC所成的角，利用正弦函數(shù)即可求得PB，求出四棱錐P-ABCD的外接球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：連接AC與BD交于O，連接OP，則
∵BO⊥AC，BO⊥PA，AC∩PA=A
∴BO⊥面PAC，
∴∠BPO為PB與平面PAC所成的角，
∵AB=2，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∵PB與平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{PB}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴PB=2$\sqrt{5}$，
∴PA=$\sqrt{20-4}$=4，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的直徑為$\sqrt{4+4+16}$=$\sqrt{24}$，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為$\frac{\sqrt{24}}{2}$，
∴球的表面積為4πR²=24π．
故答案為：24π．

點評 本題考查球的表面積，考查學生的計算能力，考查線面角，正確求出四棱錐P-ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．