Question

13．以直角坐標(biāo)系的原點為極點x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．則曲線C₁：ρ²-2ρcosθ-1=0上的點到曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）上的點的最短距離為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$可把曲線C₁：ρ²-2ρcosθ-1=0化為直角坐標(biāo)方程，由曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為x+y-4=0，求出圓心到直線的距離d，即可得出圓上的點到直線的最短距離=d-r．

解答 解：曲線C₁：ρ²-2ρcosθ-1=0化為x²+y²-2x-1=0，配方為（x-1）²+y²=2．
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為x+y-4=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|1+0-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴圓上的點到直線的最短距離=d-r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．