Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（${\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]求出f（x）的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求其范圍內(nèi)的最大值及最小值，即可到得f（x）的值域．

解答 解：∵f（x）=sin（${\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x．
?f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$）
?f（x）=$\frac{1}{2}sin2x$-$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$）
?f（x）=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（1）∵y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為$[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]，（k∈Z）$
∴由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）解得：$x∈[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$[kπ-\frac{π}{12}，kx+\frac{5π}{12}]$（k∈Z）．
（2）∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]，
∴有$2x-\frac{π}{3}∈[0，π]$，
結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知：
當(dāng)2x$-\frac{π}{3}$=0或π時，f（x）取得最小值，即$f（x）_{min}=sin0-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
當(dāng)2x$-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=sin\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
所以x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]，f（x）的值域為$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{2-\sqrt{3}}{2}]$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡的能力，正確化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．