Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB=3，CD=2，PD=AD=5．
（1）在PD上確定一點(diǎn)E，使得PB∥平面ACE，并求$\frac{PE}{ED}$的值；
（2）在（1）條件下，求平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O，過(guò)O作OE∥BP交PD于E，推導(dǎo)出PB∥平面ACE，由此能求出$\frac{PE}{ED}$的值．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）連接BD交AC于O，
在△PBD中，過(guò)O作OE∥BP交PD于E，…（2分）
∵OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE，…（3分）
∵AB=3，CD=2，∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BO}{DO}=\frac{PE}{ED}=\frac{3}{2}$…（5分）
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（5，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，2），P（0，0，5），
$\overrightarrow{CA}$=（5，-2，0），$\overrightarrow{CE}$=（0，-2，2），…（6分）
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{5x-2y=0}\\{-2y+2z=0}\end{array}}\right.$，
令z=5，則x=2，y=5，∴n=（2，5，5）…（8分）
取PA的中點(diǎn)為F，連接DF，∵AD=PD，∴DF⊥PA，
又AB⊥平面PAD，∴AB⊥DF，則DF⊥平面PAB，…（9分）
即$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{5}{2}$，0，$\frac{5}{2}$）是平面PAB的一個(gè)法向量，…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DF}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DF}|}$=$\frac{\frac{35}{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{2}×3\sqrt{6}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{18}$，…（11分）
∴平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值為$\frac{{7\sqrt{3}}}{18}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段比值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．