Question

6．已知直線mx-y+1=0交拋物線y=x²于A、B兩點，則△AOB為①
①為直角三角形    ②為銳角三角形    ③為鈍角三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)A和B都為拋物線上的點，設出A和B的坐標，把直線與拋物線解析式聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出兩根之積，然后利用A和B的坐標表示出$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，利用平面向量的數(shù)量積運算法則，計算得出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$為0，從而得出兩向量互相垂直，進而得到三角形為直角三角形．

解答 解：設A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
將直線與拋物線方程聯(lián)立，消去y得：x²-mx-1=0，
根據(jù)韋達定理得：x₁x₂=-1，
由$\overrightarrow{OA}$=（x₁，x₁²），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，x₂²），
得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+（x₁x₂）²=-1+1=0，
則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴△AOB為直角三角形．
故答案為：①．

點評 此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有韋達定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及兩向量垂直時滿足的條件，曲線與直線的交點問題，常常聯(lián)立曲線與直線的方程，消去一個變量得到關于另外一個變量的一元二次方程，利用韋達定理來解決問題，本題證明垂直的方法為：根據(jù)平面向量的數(shù)量積為0，兩向量互相垂直．