Question

6．已知直線mx-y+1=0交拋物線y=x²于A、B兩點(diǎn)，則△AOB為①
①為直角三角形    ②為銳角三角形    ③為鈍角三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)A和B都為拋物線上的點(diǎn)，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，把直線與拋物線解析式聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩根之積，然后利用A和B的坐標(biāo)表示出$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，計(jì)算得出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$為0，從而得出兩向量互相垂直，進(jìn)而得到三角形為直角三角形．

解答 解：設(shè)A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
將直線與拋物線方程聯(lián)立，消去y得：x²-mx-1=0，
根據(jù)韋達(dá)定理得：x₁x₂=-1，
由$\overrightarrow{OA}$=（x₁，x₁²），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，x₂²），
得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+（x₁x₂）²=-1+1=0，
則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴△AOB為直角三角形．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有韋達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及兩向量垂直時(shí)滿足的條件，曲線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，常常聯(lián)立曲線與直線的方程，消去一個(gè)變量得到關(guān)于另外一個(gè)變量的一元二次方程，利用韋達(dá)定理來(lái)解決問(wèn)題，本題證明垂直的方法為：根據(jù)平面向量的數(shù)量積為0，兩向量互相垂直．