Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1

①求f（x）的最小正周期；
②用列表、描點(diǎn)、連線的方法在給定的坐標(biāo)系中作出f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象；
③若函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，然后將橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，試化簡(jiǎn)：1+g（x）-g（x+$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 ①利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，利用周期公式即可得解．
②根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，直接求出函數(shù)值完成表格，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，用五點(diǎn)法即可在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）在上[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的圖象；
③利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x），根據(jù)三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可化簡(jiǎn)得解．

解答 解：①∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
②解：由于-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{11π}{6}$，列表：

2x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	-2	-1	1	-1	-3	-2

畫(huà)圖如下：

③若函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，可得函數(shù)：y=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-1=2sin2x-1的圖象，
再向上平移1個(gè)單位，可得函數(shù)y=2sin2x的圖象；
然后將橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，得到函數(shù)y=g（x）=2sin4x的圖象，
所以：1+g（x）-g（x+$\frac{π}{4}$）=1+2sin4x-2sin4（x+$\frac{π}{4}$）=1+2sin4x+2sin4x=1+4sin4x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，考查了五點(diǎn)法作圖，屬于中檔題．