Question

11．三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2$\sqrt{3}$，AC=4，∠BAC=30°．若三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為18π．

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．

解答 解：∵AB=2$\sqrt{3}$，AC=4，∠BAC=30°，
∴BC=$\sqrt{12+16-2×2\sqrt{3}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴三角形ABC的外接圓直徑AC=4，
設(shè)球心為O，AC的中點(diǎn)為D，球的半徑為R，則PD=2$\sqrt{2}$
∴R²=（2$\sqrt{2}$-R）²+4，
則有該三棱錐的外接球的半徑R=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR²=4π×（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²=18π．
故答案為：18π．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．