Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0（x＞0），則不等式x²f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0判斷函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$的單調(diào)性，進(jìn)而分別看x＞1和0＜x＜1時(shí)f（x）與0的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷-1＜x＜0和x＜-1時(shí)f（x）與0的關(guān)系，最后取x的并集即可得到答案．

解答 解：[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，即x＞0時(shí)$\frac{f（x）}{x}$是增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$＞f（1）=0，f（x）＞0．
0＜x＜1時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$＜f（1）=0，f（x）＜0，
又f（x）是奇函數(shù)，所以-1＜x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）＞0，
x＜-1時(shí)f（x）=-f（-x）＜0，
則不等式x²f（x）＞0即f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，�？衫�用導(dǎo)函數(shù)來判斷．