Question

19．如圖，AB是圓O的直徑，C為AB的延長線上一點，切線CD交圓O于點D，∠ACD的平分線分別交DB，DA于點E，F(xiàn)．
（1）求證：DE=DF；
（2）若DA=DC，AC=4，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角定理即可得出．
（2）由（1）知可得：△DCB～△ACD，于是$\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{DA}$，可得∠DCA=∠DAC=∠CDB．由于AB是圓O的直徑，可得∠BDA=90°，利用三角形內(nèi)角和定理可得：∠DAC=∠DCA=∠CDB=30°，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 證明：（1）由弦切角定理可知∠CDB=∠A，
∵∠DCE=∠FCA，
∴∠CDB+∠DCE=∠A+∠FCA，
由三角形的外角定理得∠DEF=∠DFE，∴DE=DF
解：（2）由（1）知∠CDB=∠A，∠DCB=∠ACB（公共角），
∴△DCB～△ACD，
∴$\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{DA}$，又DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=∠CDB．
由三角形的內(nèi)角和定理知∠DCA+∠DAC+∠CDA=180°，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠BDA=90°，∠DAC+∠DCA+∠CDB=180°-90°=90°，
∴∠DAC=∠DCA=∠CDB=30°，
在Rt△ABD中tan30°=$\frac{DB}{DA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又$\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{DA}$，AC=4，
∴CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的邊角關(guān)系、三角形的邊角關(guān)系與內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．