Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²，其中x∈R，a為參數(shù)
（1）記函數(shù)g（x）=$\frac{1}{6}$f′（x）+lnx，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）若曲線y=f（x）與x軸正半軸有交點(diǎn)且交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g（x），求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）點(diǎn)P處的切線方程y=g（x），令h（x）=f（x）-g（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）≥0即可．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）的定義域是（0，+∞），
f'（x）=3x²-2ax，g（x）=$\frac{1}{6}$（3x²-2ax）+lnx，
g′（x）=x+$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{3}$≥2-$\frac{a}{3}$，
當(dāng)a≤6時(shí)，則$2-\frac{a}{3}≥0$，所以g'（x）≥0，
所以函數(shù)g（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞6時(shí)，令$g'（x）=\frac{{3{x^2}-ax+3}}{3x}=0$，
則${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-36}}}{6}，{x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-36}}}{6}$，
可知函數(shù)g（x）在$（{0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}-36}}}{6}}）$上單調(diào)遞增，
在$（{\frac{{a-\sqrt{{a^2}-36}}}{6}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}-36}}}{6}}）$單調(diào)遞減，
在$（{\frac{{a+\sqrt{{a^2}-36}}}{6}，+∞}）$上單調(diào)遞增．
證明：（2）令f（x）=0，則x=0或x=a
若曲線y=f（x）與x軸正半軸有交點(diǎn)，
則a＞0且交點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，0），
又f'（x）=3x²-2ax，則f'（a）=a²，
所以曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=a²（x-a），即g（x）=a²x-a³，
令h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax²-a²x+a³，
在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=a時(shí)，h（x）有最小值，
所以h（x）≥0，
則f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．