Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，n≥2時，a_n=$\frac{7{a}_{n-1}-3}{3{a}_{n-1}+1}$，則使得a_n≥$\frac{13}{11}$成立的最大正整數(shù)n=7．

Answer 1

分析 先計算出前幾項，再進行歸納猜想，證明，由此求出數(shù)列{a_n}的通項公式，結(jié)合a_n≥$\frac{13}{11}$，求得最大正整數(shù)n的值．

解答 解：已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，當n≥2時，a_n=$\frac{7{a}_{n-1}-3}{3{a}_{n-1}+1}$，
∴a₂=$\frac{11}{7}$，
a₃=$\frac{7}{5}$=$\frac{14}{10}$，
a₄=$\frac{17}{13}$
…
猜想a_n=$\frac{3n+5}{3n+1}$．
①當n=1時，顯然成立．
②假設(shè)n=k（k≥1）時成立，即a_k=$\frac{3k+5}{3k+1}$，
則當n=k+1時，a_k+1=$\frac{7{a}_{k}-3}{3{a}_{k}+1}$=$\frac{3k+11}{3k+7}$=$\frac{3（k+1）+5}{3（k+1）+3}$．
由①②知，a_n=$\frac{3n+5}{3n+1}$．
由a_n≥$\frac{13}{11}$，
得$\frac{3n+5}{3n+1}$$≥\frac{13}{11}$．
即$n≤\frac{42}{6}$．
∵n為正整數(shù)，
∴n的最大值為7．
故答案為：7．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，解題時注意合理地進行猜想和數(shù)學歸納法的靈活運用，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了不等式的解法，是中檔題．