Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π
（Ⅰ）求ω和φ的值
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{24}$）-$\sqrt{2}$f（x+$\frac{π}{6}$）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性和周期性，求出ω和φ的值．
（Ⅱ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{24}$）-$\sqrt{2}$f（x+$\frac{π}{6}$）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，
且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{6}+φ=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\\{\frac{2π}{ω}=π}\end{array}\right.$，∴ω=2，φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{24}$）-$\sqrt{2}$f（x+$\frac{π}{6}$）=sin[2（x+$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{6}$]-$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\sqrt{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故當2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$ 時，函數(shù)y取得最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$ 時，函數(shù)y取得最大值為1，
故函數(shù)y的值域為[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性和周期性，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．