Question

18．已知定點(diǎn)P（3，1），雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若點(diǎn)A在雙曲線上，則|AP|+|AF₂|的最小值為$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，得到焦點(diǎn)，由題意可得A在右支上，利用雙曲線的定義|AF₂|=|AF₁|-2a及兩邊之和不小于第三邊，即可求得|PA|+|AF₂|的最小值．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴a=$\sqrt{5}$，b=2，半焦距c=3，
∴右焦點(diǎn)F₂（3，0），左焦點(diǎn)F₁（-3，0），
又P（3，1），A是雙曲線上一點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線的右支上時(shí)，|AP|+|AF₂|取得最小值，
∴|AF₂|=|AF₁|-2a=|AF₁|-2$\sqrt{5}$，
∴|AP|+|AF₂|=|AP|+|AF₁|-2$\sqrt{5}$≥|PF₁|-2$\sqrt{5}$=$\sqrt{（3+3）^{2}+（1-0）^{2}}$-2$\sqrt{5}$=$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．
當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)₁共線時(shí)，取得最小值$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間線段最短，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．