Question

6．二項(xiàng)式（$\frac{2}{x}$+x³）ⁿ的展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的2倍．
（Ⅰ）求n的值，并求所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；
（Ⅱ）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得n的值．
（Ⅱ）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得${C}_{n}^{3}$=2${C}_{n}^{2}$，∴n=8，故所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2⁸=256．
（Ⅱ）由題意可得通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^8-r•x^4r-8，令4r-8=0，求得r=2，
可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{8}^{2}$•2⁶=1792．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．