Question

6．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°，設(shè)AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求三棱錐B₁-A₁BC的體積．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出a．
（2）由AC⊥平面A₁B₁B，利用等體積法能求出三棱錐B₁-A₁BC的體積．

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（0，0，a），B（1，0，0），B₁（1，0，1），C₁（0，1，a），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，-a），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，a-1），
∴異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}$=$\frac{|{a}^{2}-a+1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}\sqrt{{a}^{2}-2a+3}}$=$\frac{1}{2}$，
由AA₁=a＞0，解得a=1．
（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°
∴AC⊥平面A₁B₁B，
∵AC=1，${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×{A}_{1}{B}_{1}×B{B}_{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐B₁-A₁BC的體積${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}BC}$=${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查線段長的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法和等體積法的合理運(yùn)用．