Question

15．觀察下列不等式：
（1）1≤sin²α+cos²α≤1
（2）$\frac{1}{2}$≤sin⁴α+cos⁴α≤1
（3）$\frac{1}{4}$≤sin⁶α+cos⁶α≤1
…
由此規(guī)律推測(cè)，第n個(gè)不等式為：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤sin²ⁿα+cos²ⁿα≤1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次分析所給不等式的左中右的變化規(guī)律，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，由所給的幾個(gè)不等式：
最左邊的項(xiàng)為1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
中間項(xiàng)為角α的正弦與余弦的偶次方的和；
右邊為常數(shù)1；
則第n個(gè)不等式為：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤sin²ⁿα+cos²ⁿα≤1；
故答案為：：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤sin²ⁿα+cos²ⁿα≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理的應(yīng)用，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)不等式左右兩邊變化的規(guī)律．