Question

4．已知a、b、c分別為△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊，2sinAcos²$\frac{C}{2}$+2sinC•cos²$\frac{A}{2}$=3sinB
（1）證明a、b、c成等差數(shù)列；
（2）若∠B為銳角，且a=btanA，求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合正弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，結(jié)合勾股定理求出a，b，c的關(guān)系即可．

解答 解：（1）由2sinAcos²$\frac{C}{2}$+2sinCcos²$\frac{A}{2}$=3sinB
得：sinA（cosC+1）+sinC（cosA+1）=2sinB  
得：sin（A+C）+sinA+sinC=3sinB
△ABC中，A+B+C=π，
∴sin（A+C）=sin（π-B）=sinB
故sinA+sinC=2sinB
由正弦定理得：a+c=2b，
故a、b、c成等差數(shù)列
（2）a=btanA及正弦定理得，$\frac{sinA}{cosA}=\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}$
△ABC中，sinA≠0  所以sinB=cosA
又∠B為銳角，顯然∠A也為銳角，
故sinB=sin（$\frac{π}{2}$-A），那么B=$\frac{π}{2}$-A，即A+B=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{2}$
Rt△ACB中，c²=a²+b²
由$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2b}\\{{a}^{2}+^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$解得c=$\frac{5}{3}$a，b=$\frac{4}{3}$a
故a：b：c=3：4：5

點評 本題考查正弦定理的應用，兩角和與差的三角函數(shù)，勾股定理的應用，考查計算能力．