Question

9．已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的點(diǎn)（如圖），且EFGH是矩形，求證：
（1）AC∥面EFGH．
（2）求異面直線AC與BD所成的角．

Answer 1

分析 （1）由EF∥GH，得EF∥平面ADC，從而EF∥AC，由此能證明AC∥面EFGH．
（2）推導(dǎo)出GF∥BD，EF∥AC，則∠EFG是異面直線AC與BD所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線AC與BD所成的角．

解答 證明：（1）∵空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的點(diǎn)，
F、G分別是邊BC、DC的點(diǎn)（如圖），且EFGH是矩形，
∴EF∥GH，
∵EF?平面ADC，HG?平面ADC，
∴EF∥平面ADC，
∵EF?平面ABC，∴EF與AC共面，
∴EF∥AC，
∵EF?面EFGH，AC?面EFGH，
∴AC∥面EFGH．
解：（2）∵EFGH是矩形，∴EH∥GF，
∵GF?平面ABD，EH?平面ABD，
∴GF∥平面ABD，
∵GF?平面BDC，∴GF∥BD，
又EF∥AC，∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
∵EFGH是矩形，∴∠EFG=90°，
∴異面直線AC與BD所成的角為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．