Question

20．設(shè)f（x）=（log₂x）²-2alog₂x+b（x＞0）．當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有最小值-1．
（1）求a與b的值；
（2）求滿足f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配方法，結(jié)合x=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有最小值-1，建立方程組，即可求a與b的值；
（2）f（x）＜0即（log₂x）²+4log₂x+3＜0，即可求出x的范圍．

解答 解：（1）f（x）=（log₂x）²-2alog₂x+b=${{（log}_{2}^{x}-a）}^{2}$+b-a²（x＞0），
當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有最小值-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}^{\frac{1}{4}}=a}\\{b{-a}^{2}=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：f（x）=（log₂x）²+4log₂x+3，
f（x）＜0即（log₂x+3）（log₂x+1）＜0，
解得：$\frac{1}{8}$＜x＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生解不等式的能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．