Question

17．設(shè)a＞0，解關(guān)于x的不等式：2a（1-a）x²-2（1-a）x+1＞0．

Answer 1

分析 根據(jù)判別式，再對(duì)參數(shù)a的取值范圍進(jìn)行討論，從而求出不等式的解集．

解答 解：2a（1-a）x²-2（1-a）x+1＞0，△=4（1-a）²-8a（1-a）=4（1-a）（1-3a），
當(dāng)△＜0時(shí)，即$\frac{1}{3}$＜a＜1時(shí)，此時(shí)2a（1-a）＞0，不等式對(duì)任意x恒成立，故不等式的解集為R，
當(dāng)△≥0時(shí)，即a≤$\frac{1}{3}$或a≥1時(shí)，
①當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，此時(shí)2a（1-a）＞0，解不等式得x＜$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$或x＞$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，
此時(shí)不等式的解集為（-∞，$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$）∪（$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，+∞）；
②當(dāng)a=1時(shí)，不等式等價(jià)于1＞0，不等式對(duì)任意x恒成立，故不等式的解集為R，
③當(dāng)a＞1時(shí)，此2a（1-a）＜0，解不等式得x＜$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$＜x＜$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，
此時(shí)不等式的解集為（$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$）．
綜上所述：當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，不等式的解集為（-∞，$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$）∪（$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，+∞），
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜a≤1時(shí)，不等式的解集為R，
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，是綜合題目．