Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的最小正周期為π，且f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求ω和φ的值；     
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由周期公式T=$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2，由f（$\frac{π}{4}$）=cos（$2×\frac{π}{4}+$φ）=cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及-$\frac{π}{2}$＜φ＜0可得φ=-$\frac{π}{3}$．
 （2）由2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ（k∈Z）即可求得y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的單調(diào)遞增區(qū)間．求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出角2x-$\frac{π}{3}$的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
∵f（$\frac{π}{4}$）=cos（$2×\frac{π}{4}+$φ）=cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）得f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ（k∈Z），
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），
∴y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
則cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[cos$\frac{2π}{3}$，cos0]，
即cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
即f（x）的取值范圍是[$-\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的解析式以及三角函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．