Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a_n≤a_n+1≤a_n+1（n∈N*），記S_n=

n

k=1

(-1)k-1aak（0＜a＜1），若S₂₀₁₄=0，則當

2014

k=1

aak取最小值時，a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：由S_n=

n

k=1

(-1)k-1aak（0＜a＜1）結(jié)合S₂₀₁₄=0得到

1007

k=1

aa2k-1=

1007

k=1

aa2k，進一步得到數(shù)列{a_n}從第一項起滿足a_2k-1=a_2k，k∈{1，2，…，1007}，
則當

2014

k=1

aak取最小值時a₂₀₁₄的值可求．

解答： 解：由S₂₀₁₄=0，知

2014

k=1

(-1)kaak=0，
即

1007

k=1

aa2k-1=

1007

k=1

aa2k，
∵a_n≤a_n+1（n∈N^*），0＜a＜1，
∴

1007

k=1

aa2k-1≥

1007

k=1

aa2k，
∴a_2k-1=a_2k，k∈{1，2，…，1007}，
∵a₁=0，a_n≤a_n+1≤a_n+1（n∈N^*）．
∴當

2014

k=1

aak取最小值時，a₂₀₁₄=1006．
故答案為：1006．

點評：本題考查了數(shù)列和的求法，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于得到a_2k-1=a_2k，k∈{1，2，…，1007}，是中檔題．