Question

15．已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線x+y+a=0與圓（x-b）²+（y-1）²=2相切，則$\frac{（3-2b）^{2}}{2a}$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由圓心到直線的距離等于圓的半徑得到a+b=1，則b=1-a，進(jìn)一步得到0＜a＜1，代入$\frac{（3-2b）^{2}}{2a}$，化為關(guān)于a的函數(shù)式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：圓（x-b）²+（y-1）²=2的圓心坐標(biāo)為（b，1），半徑為$\sqrt{2}$，
∵直線x+y+a=0與圓（x-b）²+（y-1）²=2相切，
∴$\frac{|b+1+a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，則|a+b+1|=2，
又a＞0，b＞0，
∴a+b=1，則b=1-a，且0＜a＜1，
則$\frac{（3-2b）^{2}}{2a}$=$\frac{（1+2a）^{2}}{2a}=\frac{1+4a+4{a}^{2}}{2a}=2a+\frac{1}{2a}+2$$≥2\sqrt{2a•\frac{1}{2a}}+2=4$．
當(dāng)且僅當(dāng)$2a=\frac{1}{2a}$，即a=$\frac{1}{2}$時(shí)上式等號(hào)成立．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線方程，考查了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．