Question

4．F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點，過點F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B．若3$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{FB}$，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意得右焦點F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=-$\frac{a}$x，則另一漸近線OB的方程為y=$\frac{a}$x，由常州的條件可得FA的方程，代入漸近線方程，可得A，B的橫坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合離心率公式，解方程可得．

解答 解：由題意得右焦點F（c，0），
設(shè)一漸近線OA的方程為y=-$\frac{a}$x，
則另一漸近線OB的方程為y=$\frac{a}$x，
由FA的方程為y=$\frac{a}$（x+c），聯(lián)立方程y=-$\frac{a}$x，
可得A的橫坐標(biāo)為-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由FA的方程為y=$\frac{a}$（x+c），聯(lián)立方程y=$\frac{a}$x，
可得B的橫坐標(biāo)為$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$．
由3$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{FB}$，
可得3（-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）=$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$+c，
即為-$\frac{3{a}^{2}}{c}$+2c=$\frac{{a}^{2}c}{{c}^{2}-2{a}^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$，可得-$\frac{1}{{e}^{2}}$+2=$\frac{1}{{e}^{2}-2}$，
即有e⁴-4e²+3=0，解得e²=3或1（舍去），
即為e=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查向量的共線的坐標(biāo)表示，求得點A、B的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．