Question

【題目】已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，當(dāng)n≥2時(shí)，，又．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)數(shù)為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】(1) an=n;(2)（n﹣1）2n+1.

【解析】

（1）直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．

（1）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣1=2an﹣an+1，

即：2an=an﹣1+an+1，

所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

又=，

解得：an=n．

（2）數(shù)列{an}落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)數(shù)為bk，

所以：第一項(xiàng)為2k﹣1，最后一項(xiàng)為2k﹣1，

所以，

則：，

所以（n﹣1）2n﹣2+n2n﹣1，①

（n﹣1）2n﹣1+n2n②，

①﹣②得：

﹣Tn=（10+21+22+…+2n）﹣n2n，

整理得：，

=（n﹣1）2n+1．