Question

設函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos²x），

b

=（1+sinxcosx，1），x∈R，且函數(shù)y=f（x）的圖象過點（

π

4

，-1）．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x值的集合；
（3）求函數(shù)f（x）的圖象中，求出離坐標軸y軸最近的對稱方程．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出f（x）解析式，把點（

π

4

，-1）代入求出m的值即可；
（2）由m的值確定出f（x）解析式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最大值以及此時x的集合即可；
（3）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，表示出x的集合，找出離坐標軸y軸最近的對稱方程即可．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（m，cos²x），

b

=（1+sinxcosx，1），x∈R，
∴f（x）=

a

•

b

=m（1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

）=m+

1

2

+

1

2

（msin2x+cos2x），
把（

π

4

，-1）代入得：f（

π

4

）=m+

1

2

+

1

2

（msin

π

2

+cos

π

2

）=-1，
解得：m=-1；
（2）由（1）得f（x）=-1+

1

2

+

1

2

（-sin2x+cos2x）=-

1

2

-

2

2

sin（2x-

π

4

），
∴當sin（2x-

π

4

）=-1時，f（x）的最大值為-

1

2

+

2

2

，
由sin（2x-

π

4

）=-1，得x值為集合為{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}；
（3）由2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z得：x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，
則k=-1時，離坐標軸y軸最近的對稱方程為x=-

π

8

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．