Question

1．若橢圓$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m^2}=1（m＞0）$的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)，則m=1或2．

Answer 1

分析 由等軸雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，即有橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，討論橢圓的焦點的位置，結(jié)合離心率公式，解方程可得m的值．

解答 解：等軸雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，
即有橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
若橢圓的焦點在x軸上，則a²=2，b²=m²，c²=2-m²，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2-{m}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得m=1；
若橢圓的焦點在y軸上，則b²=2，a²=m²，c²=m²-2，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-2}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得m=2．
綜上可得m=1或2．
故答案為：1或2．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，主要考查離心率的運用，以及橢圓的焦點的確定，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．