Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（b＞a＞0）的正半軸焦點(diǎn)為F，負(fù)半軸焦點(diǎn)為F′，AA′為長(zhǎng)軸，點(diǎn)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，則分別以|QF|，|QF′|，|AA′|為直徑的圓之間的位置關(guān)系說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 以|QF|為直徑的圓與以|AA′|為直徑的圓內(nèi)切
• B． 以|QF′|為直徑的圓與以|AA′|為直徑的圓相交
• C． 以|QF|為直徑的圓與以|AA′|為直徑的圓相交
• D． 以|QF|為直徑的圓與以|QF′|為直徑的圓相切

Answer 1

分析 由橢圓的定義可得，|QF+|QF′|=2b，|AA′|=2b，由兩圓的位置關(guān)系和三角形的中位線定理，即可判斷A正確，B，C，D錯(cuò)誤．

解答 解：由橢圓的定義可得，|QF+|QF′|=2b，|AA′|=2b，
對(duì)于A，以|QF|為直徑的圓與以|AA′|為直徑的圓心距為
|OB|=$\frac{1}{2}$|QF′|=b-$\frac{1}{2}$|QF|，即為兩圓內(nèi)切，故正確；
對(duì)于B，以|QF′|為直徑的圓與以|AA′|為直徑的圓心距為
|OC|=$\frac{1}{2}$|QF|=b-$\frac{1}{2}$|QF'|，即為兩圓內(nèi)切，故不正確；
對(duì)于C，由A可得兩圓內(nèi)切，故不正確；
對(duì)于D，以|QF|為直徑的圓與以|QF'|為直徑的圓心距為
|BC|=$\frac{1}{2}$|FF'|=c，而兩圓的半徑之和為b，兩圓相交，故不正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，考查兩圓的位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中檔題．