Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（2，-1），$\overrightarrow{s}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，若隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），滿足x＞0，y＞0且x+y=2，使得|$\overrightarrow{s}$|≤$\sqrt{15}$的概率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積和向量的模得到x²+y²≤3，再求出AB，CD的長(zhǎng)度，根據(jù)幾何概率公式計(jì)算即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（2，-1），$\overrightarrow{s}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，
∴|$\overrightarrow{s}$|²=|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$|²=|x$\overrightarrow{a}$|²+|y$\overrightarrow$|²+2xy$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=5x²+5y²≤15，
∴x²+y²≤3，
 對(duì)于x+y=2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴CD=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=2，
∴滿足x＞0，y＞0且x+y=2，使得|$\overrightarrow{s}$|≤$\sqrt{15}$的概率為$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題借助向量的數(shù)量積和向量的模以及圓和直線的位置關(guān)系點(diǎn)與點(diǎn)的距離考查了幾何概型概率，屬于中檔題．