Question

6．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x^2}$）ⁿ的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56：3．
（1）求n的值；
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（3）求展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是$\frac{{C}_{n}^{4}{•2}^{4}}{{C}_{n}^{2}{•2}^{2}}$=$\frac{56}{3}$，求得n的值．
（2）根據(jù)n=2，求得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ．
（3）利用通項(xiàng)公式求得第3項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（1）∵在（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x^2}$）ⁿ的展開式中，
第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是$\frac{{C}_{n}^{4}{•2}^{4}}{{C}_{n}^{2}{•2}^{2}}$=$\frac{56}{3}$，∴n=10．
（2）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=2¹⁰=1024．
（3）展開式中第3項(xiàng)為T₃=${C}_{10}^{2}$•2²=180，第3項(xiàng)的系數(shù)為180．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．