Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AA₁=2AC=2BC，D是AA₁的中點，CD⊥B₁D．
（1）證明：CD⊥B₁C₁；
（2）求二面角A-DB₁-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由題意知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面為矩形，DC=DC₁，CD⊥DC₁，由此能證明CD⊥B₁C₁．
（2）以C為原點，CA為x軸，設AA₁=2AC=2BC=2，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-DB₁-C的余弦值．

解答： （1）證明：由題意知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面為矩形，
∵D是AA₁的中點，∴DC=DC₁，
又AA₁=2A₁C₁，∴DC12+DC2=CC12，
∴CD⊥DC₁，
而CD⊥B₁D，B₁D∩C₁D=D，
∴CD⊥平面B₁C₁D，
∵B₁C₁?平面B₁C₁D，∴CD⊥B₁C₁．
（2）解：由（1）知B₁C₁⊥CD，且B₁C₁⊥C₁C，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
∴CA，CB，CC₁兩兩垂直，
以C為原點，CA為x軸，設AA₁=2AC=2BC=2，
建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B₁（0，1，2），C（0，0，0），D（1，0，1），
∴

AD

=（0，0，1），

B1D

=（1，-1，-1），

DC

=（-1，0，-1），
設平面ADB₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AD =z=0 n • B1D =x-y-z=0

，
取x=1，得

n

=(1，1，0)，
設平面DB₁C的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • B1D =a-b-c=0 m • DC =-a-c=0

，
取a=1，得

m

=(1，2，-1)，
cos＜

n

，

m

＞=

3

2 • 6

=

3

2

．
∴二面角A-DB₁-C的余弦值為

3

2

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．