Question

14．若函數f（x）在給定區(qū)間M上，存在正數t，使得對于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上的t級類增函數，則下列命題正確的是（　　）

• A． 函數f（x）=$\frac{4}{x}$+x是（1，+∞）上的1級類增函數
• B． 函數f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1級類增函數
• C． 若函數f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數，則實數t的取值范圍為[1，+∞）
• D． 若函數f（x）=sinx+ax為[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$級類增函數，則實數a的取值范圍為[2，+∞）

Answer 1

分析 A中，f（x+1）-f（x）=$\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x}+1$≥0在（1，+∞）上不成立；
B中，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立；
C．故運用參數分離，求出最大值，只要a不小于最大值即可；
D．由f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數，能導出實數t的取值范圍為[1，+∞）．

解答 解：A．∵f（x）=$\frac{4}{x}$+x，
∴f（x+1）-f（x）=$\frac{4}{x+1}+x+1$-$\frac{4}{x}$-x=$\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x}+1$≥0在（1，+∞）上不成立，故A不正確；
B．∵f（x）=|log₂（x-1）|，
∴f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不成立，故B不正確；
C∵f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，t≥3-2x，
由于x∈[1，+∞），則3-2x≤1，
故實數t的取值范圍為[1，+∞），∴C正確．
D．f（x）=sinx+ax為[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$級類增函數，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）+a（x+$\frac{π}{3}$）≥sinx+ax，
sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$+ax+$\frac{π}{3}$a≥sinx+ax，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{π}{3}$a≥$\frac{1}{2}$sinx，
當x=$\frac{π}{2}$時，$\frac{π}{3}$a≥$\frac{1}{2}$，a≥$\frac{3}{2π}$，∴則實數a的最小值為$\frac{3}{2π}$，∴D不正確；
故選：C

點評 本題考查命題的真假判斷，考查新定義，同時考查函數的性質及應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，