Question

1．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，且$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求$\frac{a}$；
（2）若c=2，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理求得a和b的關(guān)系式可得$\frac{a}$的值；
（2）利用向量的數(shù)量積公式和余弦定理求出a和b，代入求出cosC，利用平方關(guān)系求出sinC的值，利用三角形面積公式求出S_△ABC．

解答 解：（1）在△ABC中，∵asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，
∴由正弦定理得，sinAsinAsinB+sinBcos²A=$\sqrt{2}$sinA，
則sinB=$\sqrt{2}$sinA，由正弦定理得b=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$；
（2）∵$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$，∴abcos（π-C）=$\frac{1}{2}$，則abcosC=-$\frac{1}{2}$，①
由余弦定理得ab•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
把c=2、b=$\sqrt{2}$a代入化簡(jiǎn)得a²=1，則a=1，b=$\sqrt{2}$，
代入①得，cosC=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵0＜C＜π，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理，以及向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，注重對(duì)基礎(chǔ)公式靈活運(yùn)用的考查．