Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1，y₀）在橢圓上，且PF₂⊥x軸，△PF₁F₂的周長為6；
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）E、F是曲線C上異于點(diǎn)P的兩個動點(diǎn)，如果直線PE與直線PF的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)P（1，y₀）在橢圓上，且PF₂⊥x軸，△PF₁F₂的周長為6，求出a，b，c，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PE方程代入橢圓方程，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由此能證明直線EF的斜率為定值．

解答 解：（1）由題意，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），c=1，…（1分）
C_△=|PF₁|+|PF₂|+2c=2a+2c=8…（2分）
∴$a=2，b=\sqrt{3}$…（3分）
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（2）由（1）知$P（1，\frac{3}{2}）$，設(shè)直線PE方程：得y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0…（6分）
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F）．
∵點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
∴x_E=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_E=kx_E+$\frac{3}{2}$-k，…（12分）
又直線PF的斜率與PE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，
可得x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_F=-kx_F+$\frac{3}{2}$+k，…（13分）
∴直線EF的斜率k_EF=$\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{1}{2}$．
即直線EF的斜率為定值，其值為$\frac{1}{2}$…（15分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線EF的斜率為定值的證明，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．