Question

10．已知橢圓C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），其焦距為2．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，P 為直線x=2 上一點(diǎn)．直線PF₁，PF₂與圓x²+y²=1的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為M、N 兩點(diǎn)，求證：直線MN 恒過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義求得橢圓方程．
（2）設(shè)P（2，t），直線PF₁：$y=\frac{t}{3}（x+1）$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{3}（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得：9x²+t²（x²+2x+1）=9，根據(jù)題目條件求得．

解答 解：（1）由題意知，c=1，左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=2$\sqrt{2}$，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）設(shè)P（2，t），直線PF₁：$y=\frac{t}{3}（x+1）$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{3}（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得：9x²+t²（x²+2x+1）=9，
即（t²+9）x²+2t²x+t²-9=0，-1×${x}_{M}=\frac{{t}^{2}-9}{{t}^{2}+9}$，∴${x}_{M}=\frac{9-{t}^{2}}{{t}^{2}+9}$，∴$M（\frac{9-{t}^{2}}{{t}^{2}+9}，\frac{6t}{{t}^{2}+9}）$
同理可得：N（$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}，\frac{-2t}{{t}^{2}+1}$），∴${K}_{MN}=\frac{4t}{3-{t}^{2}}$，
直線MN的方程為：$y-\frac{4t}{3-{t}^{2}}（x-\frac{1}{2}）=0$，∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn)T（$\frac{1}{2}，0$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，屬于中檔題，再高考中經(jīng)常涉及．