Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，P是短軸的一個頂點，△PF₁F₂是頂角為$\frac{2}{3}$π且面積為$\sqrt{3}$的等腰三角形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點A（-a，0）斜率為k的直線交橢圓于點B．直線BO（O為坐標原點）交橢圓于另一點C．若$k∈[\frac{1}{2}，1]$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，運用三角形的面積公式，計算可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設直線AB的方程為x+2=my（m=$\frac{1}{k}$），代入橢圓方程，求得B的坐標，由題意可得C的坐標，求出△ABC的面積，運用對勾函數的單調性，即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，
△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$b•b=$\sqrt{3}$，
得b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2，
所以橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設直線AB的方程為x+2=my（m=$\frac{1}{k}$）
代入橢圓方程得（m²+4）y²-4my=0，
可得B（$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$），C（-$\frac{2{m}^{2}-8}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$）
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$=$\frac{8}{m+\frac{4}{m}}$，
令f（m）=m+$\frac{4}{m}$，f′（m）=1-$\frac{4}{{m}^{2}}$（1≤m≤2），
f′（m）≤0，f（m）=m+$\frac{4}{m}$在[1，2]上單調遞減，
所以當m=2時，△ABC的面積的最大值為2．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓方程的運用，聯立直線方程，求得交點，同時考查三角形的面積公式和對勾函數的單調性的運用，屬于中檔題．