Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，△PF₁F₂是頂角為$\frac{2}{3}$π且面積為$\sqrt{3}$的等腰三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A（-a，0）斜率為k的直線交橢圓于點(diǎn)B．直線BO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于另一點(diǎn)C．若$k∈[\frac{1}{2}，1]$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，運(yùn)用三角形的面積公式，計(jì)算可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為x+2=my（m=$\frac{1}{k}$），代入橢圓方程，求得B的坐標(biāo)，由題意可得C的坐標(biāo)，求出△ABC的面積，運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，
△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$b•b=$\sqrt{3}$，
得b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)直線AB的方程為x+2=my（m=$\frac{1}{k}$）
代入橢圓方程得（m²+4）y²-4my=0，
可得B（$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$），C（-$\frac{2{m}^{2}-8}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$）
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$=$\frac{8}{m+\frac{4}{m}}$，
令f（m）=m+$\frac{4}{m}$，f′（m）=1-$\frac{4}{{m}^{2}}$（1≤m≤2），
f′（m）≤0，f（m）=m+$\frac{4}{m}$在[1，2]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)m=2時(shí)，△ABC的面積的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，求得交點(diǎn)，同時(shí)考查三角形的面積公式和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．