Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

8y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點．
（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設(shè)點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把已知點的坐標代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程，由橢圓的方程求出焦點坐標．
（Ⅱ）設(shè)F₁K的中點Q（x，y），則由中點坐標公式得點K（2x+1，2y），把K的坐標代入橢圓方程，化簡即得線段KF₁的中點Q的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，
∴2a=4，即a=2，
又點A（1，

3

2

）在橢圓上，
因此

1

4

+

18

b2

=1，得b²=24，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，焦點坐標為（±1，0）；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的動點為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點Q（x，y）滿足：x₁=2x+1，y₁=2y，
因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1．即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1為所求的軌跡方程．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、線段的中點公式，以及用代入法求軌跡方程．