8.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1+a2+a3=26,S6=728.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求證:${{S}_{n+1}}^{2}-{S}_{n}{S}_{n+2}=4×{3}^{n}$.

分析 (Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,從而可得$\left\{\begin{array}{l}{S_3}=\frac{{{a_1}({1-{q^3}})}}{1-q}=26\\{S_6}=\frac{{{a_1}({1-{q^6}})}}{1-q}=728\end{array}\right.$,從而解方程即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得${S_n}=\frac{{2×({1-{3^n}})}}{1-3}={3^n}-1$,從而寫出${S_{n+1}}={3^{n+1}}-1$,${S_{n+2}}={3^{n+2}}-1$,從而證明.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
由728≠2×26得S6≠2S3,
故q≠1,
故$\left\{\begin{array}{l}{S_3}=\frac{{{a_1}({1-{q^3}})}}{1-q}=26\\{S_6}=\frac{{{a_1}({1-{q^6}})}}{1-q}=728\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ q=3\end{array}\right.$,
∴${a_n}=2×{3^{n-1}}$.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)可得,${S_n}=\frac{{2×({1-{3^n}})}}{1-3}={3^n}-1$;
∴${S_{n+1}}={3^{n+1}}-1$,${S_{n+2}}={3^{n+2}}-1$,
∴${S_{n+1}}^2-{S_{n+2}}{S_n}=4×{3^n}$.

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用及前n項和公式的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
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