Question

10．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₂=6，S₄=30，n∈N^*，數(shù)列{b_n}滿足b_n•b_n+1=a_n，b₁=1
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出${a}_{n}={2}^{n}$．由數(shù)列{b_n}滿足b_n•b_n+1=a_n，b₁=1，推導(dǎo)出$\frac{_{n+1}}{_{n-1}}=2$，由此能求出b_n．
（Ⅱ）由等比數(shù)列性質(zhì)能求出數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₂=6，S₄=30，n∈N^*，
∴由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q=6}\\{{a}_{1}{q}^{2}（1+q）=24}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n•b_n+1=a_n，b₁=1，
∴當(dāng)n≥2時，b_n•b_n+1=2ⁿ，b_n-1•b_n=2^n-1，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n-1}}=2$，n≥2，
又b₁=1，∴$_{2}=\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=2，
∴b₁，b₃，…，b_2n-1是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
b₂，b₄，…，b_2n是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和為：
${T}_{2n}=\frac{1•（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}+\frac{2•（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}$
=${2}^{\frac{n}{2}}-1+2•{2}^{\frac{n}{2}}-2$
=$3•{2}^{\frac{n}{2}}-3$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．