Question

16．已知P為圓C：（x-2）²+（y-2）²=1上任一點，Q為直線l：x+y+2=0上任一點，O為原點，則$|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|$的最小值為$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 圓心C（2，2）到直線l的距離d=3$\sqrt{2}$，O到直線l的距離h=$\sqrt{2}$，當C、P、O、Q共線，且OQ⊥l時，$|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|$取最小值．

解答 解：P為圓C：（x-2）²+（y-2）²=1上任一點，Q為直線l：x+y+2=0上任一點，O為原點，
圓心C（2，2）到直線l的距離d=$\frac{|2+2+2|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
O到直線l的距離h=$\frac{|0+0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
如圖，當C、P、O、Q共線，且OQ⊥l時，
|OQ|=$\sqrt{2}$，|OP|=3$\sqrt{2}-\sqrt{2}-1$=2$\sqrt{2}-1$，
此時$|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|$取最小值為|2$\sqrt{2}-1-\sqrt{2}$|=$\sqrt{2}-1$．
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查向量的模的最小值的求法，考查圓、直線方程、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．